2015年广东省初中毕业生学业考试数学试题及答案

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2015 年广东省初中毕业生学业考试 数 学 一、选择题 1. [ww^w.#&zzstep*.@co m] ?2 ? A.2 [w@ww&.~*zzs tep.com%] B. ?2 C. 1 2 D. ? 1 2 【答案】A. 2. 据国家统计局网站 2014 年 12 月 4 日发布消息,2014 年广东省粮食总产量约为 13 573 000 吨,将 13 573 000 用科学记数法表示为 A. 1.3573 ? 106 B. 1.3573 ? 107 C. 1.3573 ? 108 【答案】B. 3. 一组数据 2,6,5,2,4,则这组数据的中位数是 A.2 B.4 C.5 【答案】B. 4. 如图,直线 a∥b,∠1=75°,∠2=35°,则∠3 的度数是 A.75° B.55° C.40° 【答案】C. [ 中^ 国教育出版 &#网~@] D. 1.3573 ? 109 D.6 D.35° 5. 下列所述图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是 A.矩形 B.平行四边形 C.正五边形 【答案】A. 6. D.正三角形 [w^ww#.~zzs te&p.co*m] (?4 x)2 ? [www@.zzs tep.c~^*#om] A. ?8 x 2 B. 8 x 2 C. ?16 x 2 D. 16 x 2 [ 来^ 源:中&~教 #*网] 【答案】D.

图1

7. 在 0,2, (?3)0 , ?5 这四个数中,最大的数是 A.0 B.2 C. (?3)0 D. ?5 【答案】B. 8. 若关于 x 的方程 x2 ? x ? a ? A. a ≥2 9 ? 0 有两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是 4 B. a ≤2 C. a> D. a< 2 2 【答案】C. 9. 如题 9 图,某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心,AB 为 半径的扇形 (忽略铁丝的粗细),则所得的扇形 DAB 的面积为 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】D. 1 【略析】显然弧长为 6,半径为 3,则 S扇形 ? ? 6 ? 3 ? 9 . 2 [ 中国教#育*& 出 版^ 网@] 10. 如题 10 图, 已知正△ABC 的边长为 2, E, F, G 分别是 AB, BC, CA 上的点, 且 AE=BF=CG, 设 △EFG 的面积为 y,AE 的长为 x,则 y 关于 x 的函数图象大致是 [ 来源#^:中 国% 教育出 ~*版 网] 【答案】D. 二、填空题 11. 正五边形的外角和等于 (度). 【答案】360. 12. 如题 12 图,菱形 ABCD 的边长为 6,∠ABC=60°,则对角线 AC 的长是 【答案】6. [ 来#源%:^ 中~教网&] [ 来源:中国教^ 育 出版网 ~%@#] [ 来%@& 源:^ 中~教网] . 13. 分式方程 3 2 ? 的解是 x ?1 x . 【答案】 x ? 2 .

图2

14. 若两个相似三角形的周长比为 2:3,则它们的面积比是 【答案】4:9. . [ 来& 源:zz~s# t*ep.@com] 1 2 3 4 5 15. 观察下列一组数: , , , , ,…,根据该组数的排列规律,可推出第 10 个数 3 5 7 9 11 是 . 10 . 21 【答案】 16. 如题 16 图,△ABC 三边的中线 AD,BE,CF 的公共点 G,若 S△ ABC ? 12 ,则图中阴影部分 面积是 . [ 来源&:中*~#^ 教网] 【答案】4. 【 略 析 [ 来源#~^%:中 教网*] 】 1 ?△ 2 C 由 SG 中 1 ? E △ 2 线 性 质 B△ , 可 得 AG=2GD , 则 B C S△B ?G △ S F 2 ? SA 3 1 ? G 2 2 1 1 4;其实 1? S 2,∴阴影部分的面积为 ?A 2 B ? ? D ? A 3 2 6 [ 来^@ 源:zz#ste&p%.com] 图中各个单独小三角形面积都相等本题虽然超纲,但学生容易蒙对的. 三、解答题(一) 17. 解方程: x 2 ? 3x ? 2 ? 0 . 【答案】解: ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 [ 来~@ 源&*:中国 教^ 育出 版网] ∴ x ?1 ? 0 或 x ? 2 ? 0 ∴ x1 ? 1 , x2 ? 2 [ 中@#国教育出 ~& 版*网] x 1 ? (1 ? ) ,其中 x ? 2 ? 1 . x ?1 x ?1 x x ?1 【答案】解:原式= ? ( x ? 1)( x ? 1) x 18. 先化简,再求值: 2 [ 来源:#*~zzste@p.^com] = 1 x ?1 [ 来*源&#@^:中教 网] 当 x ? 2 ? 1 时,原式= 1 2 ? . 2 ?1?1 2 19. 如题 19 图,已知锐角△ABC. (1) 过点 A 作 BC 边的垂线 MN,交 BC 于点 D(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写 作法) ; 3 (2) 在(1)条件下,若 BC=5,AD=4,tan∠BAD= ,求 DC 的长. 4 [ 来源 ~^:z&zs tep.co@m%]

图3

【答案】(1) 如图所示,MN 为所作; (2) 在 Rt△ABD 中,tan∠BAD= ∴ BD 3 ? , 4 4 [ 来^#源:中教&~网@] AD 3 ? , BD 4 ∴BD=3, ∴DC=AD﹣BD=5﹣3=2. 四、解答题(二) 20. 老师和小明同学玩数学游戏,老师取出一个不透明的口袋,口袋中装有三张分别标有数字 1,2,3 的 卡片,卡片除数字个其余都相同,老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片,并 计算两次抽到卡片上 的数字之积是奇数的概率,于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次 抽取卡片的所有可能结果,题 20 图是小明同学所画的正确树状图的一部分. (1) 补全小明同学所画的树状图; (2) 求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率. [ 来源#*:中国教^ 育 出版~& 网] [ 来#% 源&:~中 教^ 网] 【答案】(1) 如图,补全树状图; (2) 从树状图可知,共有 9 种可能结果,其中两次抽取卡片上的数字之积为奇数的有 4 种结果, 4 ∴P(积为奇数)= 9 [ww*&w.zzs te^p#.co@m] [ 中国%^ 教*育@ 出~ 版网] 21. 如题 21 图,在边长为 6 的正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中点,将△ADE 沿 AE 对折至△ AFE,延 长交 BC 于点 G,连接 AG. (1) 求证:△ABG≌△AFG; (2) 求 BG 的长. [ 中国~*^ 教育出% 版# 网] 【答案】(1) ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠B=∠D=90°,AD=AB, 由折叠的性质可知 AD=AF,∠AFE=∠D=90°, ∴∠AFG=90°,AB=AF, ∴∠AFG=∠B, 又 AG=AG, ∴△ABG≌△AFG; [ 中国*教育%& 出版#网@] [ 中~#国教育 出& 版^ 网%]

图4

(2) ∵△ABG≌△AFG, ∴BG=FG, 设 BG=FG= x ,则 GC= 6 ? x , ∵E 为 CD 的中点, ∴CF=EF=DE=3, ∴EG= x ? 3 , [ww#w%.zzstep^.*com~] [ 来^*源:% zzs tep.&com@] ∴ 32 ? (6 ? x)2 ? ( x ? 3)2 , 解得 x ? 2 , ∴BG=2. 22. 某电器商场销售 A, B 两种型号计算器, 两种计算器的进货价格分别为每台 30 元, 40 元. 商 场销售 5 台 A 型号和 1 台 B 型号计算器,可获利润 76 元;销售 6 台 A 型号和 3 台 B 型号计算 器,可获利润 120 元. (1) 求商场销售 A, B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元?(利润=销售价格﹣进货价 格) (2) 商场准备用不多于 2500 元的资金购进 A,B 两种型号计算器共 70 台,问最少需要购 进 A 型号的 计算器多少台? 【答案】(1) 设 A,B 型号的计算器的销售价格分别是 x 元,y 元,得: [ 来@ 源^:中国教育 出版*网&~] ?5( x ? 30) ? ( y ? 40) ? 76 ,解得 x=42,y=56, ? ?6( x ? 30) ? 3( y ? 40) ? 120 [ 来%&~源^:中@ 教网] 答:A,B 两种型号计算器的销售价格分别为 42 元,56 元; (2) 设最少需要购进 A 型号的计算 a 台,得 30a ? 40(70 ? a) ≥ 2500 解得 x≥30 答:最少需要购进 A 型号的计算器 30 台. 五、解答题(三) 23. 如题 23 图,反比例函数 y ? [ 中国& 教育#*出~ 版^ 网] k ( k ≠0 , x> 0 )的图象与直线 y ? 3 x 相交于点 C,过直线上点 x A(1,3)作 AB⊥x 轴于点 B,交反比例函数图象于点 D,且 AB=3BD. (1) 求 k 的值; (2) 求点 C 的坐标; (3) 在 y 轴上确实一点 M,使点 M 到 C、D 两点距离之和 d=MC+MD,求点 M 的坐标. 【答案】(1) ∵A(1,3),

图5

∴OB=1,AB=3, 又 AB=3BD, ∴BD=1, ∴B(1,1), ∴ k ? 1? 1 ? 1 ; (2) 由(1)知反比例函数的解析式为 y ? 1 , x ? ? 3 3 ? y ? 3x ?x ? ?x ? ? ? 解方程组 ? ,得 或 , 3 3 (舍去) ? ? 1 y? ?y ? 3 ?y ? ? 3 ? x ? ? ? 3 , 3 ); 3 (3) 如图,作点 D 关于 y 轴对称点 E,则 E( ?1 ,1),连接 CE 交 y 轴于点 M,即为所求. 设直线 CE 的解析式为 y ? kx ? b ,则 ∴点 C 的坐标为( ? 3 ? k ?b ? 3 ,解得 k ? 2 3 ? 3 , b ? 2 3 ? 2 , ? 3 ??k ? b ? 1 ? [ 来源:中国~^ 教育出 版% 网*#] ∴直线 CE 的解析式为 y ? (2 3 ? 3) x ? 2 3 ? 2 , 当 x=0 时,y= 2 3 ? 2 , [ 来源%:中~#& 教*网] ∴点 M 的坐标为(0, 2 3 ? 2 ). 24. ⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是直径,过 BC 的中点 P 作⊙O 的直径 PG 交弦 BC 于点 D, 连接 AG, CP,PB. (1) 如题 24﹣1 图;若 D 是线段 OP 的中点,求∠BAC 的度数; (2) 如题 24﹣2 图,在 DG 上取一点 k,使 DK=DP,连接 CK,求证:四边形 AGKC 是平 行四边形; (3) 如题 24﹣3 图;取 CP 的中点 E,连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H,连接 PH,求证: PH⊥AB. [ 来源:@z&zstep.^#%com] 【答案】(1) ∵AB 为⊙O 直径, BP ? PC ,

图6

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